向量点积在游戏编程中的应用
向量点积在游戏编程中的应用
这是我 5 年前写的，但从未在任何地方发布过。一个朋友的推文提醒我它在我的草稿中，我想它可能对某人有用。
点积是一个可以应用于两个等维向量的函数，有时被道德纤维较低的人称为标量或内积。通常，您会看到点积定义如下:
bold letters are vectors, ||‘s surrounding a vector means the magnitude or length of the vector, and 𝜃 (pronounced “theta”) is the angle between the two vectors.
看着吓人？换句话说，点积是两个向量之间的夹角的余弦乘以它们的长度。起初，它的用途似乎很有限，但实际上它会到处出现。让我们看几个:
测量方向
如果你仔细观察，你可能注意到的第一件事是，你可以通过一点重新排列得到两个向量之间角度的余弦值:
然后使用 arccos 函数(也称为 cos^-1 )来获得角度，或者如果你想用你的 CPU 周期比宜家家具便宜的话，就测试典型角度的余弦值。如果两个向量 x 和 y 都是单位长度(我们通常通过在向量上方放置一个^符号来表示这一点，但是我在这里的段落中省略了^'s，因为 medium 不支持它)，那么我们不需要向量长度的除法或计算，并且可以节省平方根。如果我们更仔细地观察这个方程和余弦的性质，我们可以看到一些捷径:
- 由于将负数引入该等式的唯一方式是余弦函数，因此当且仅当向量指向彼此相距大于π/2 弧度(90 度)的方向时，点积的结果为负。简单来说:负的点积意味着向量指向不同的方向。
- 如果点积为零，则两个向量是正交的(垂直的)。
- 如果向量是单位长度，点积的结果是 1，则向量相等。
投影向量
假设我们想知道一个向量在某个方向上移动了多少。
示例用途包括计算角色在斜坡或墙壁方向上移动的速度，找出角色在重力方向上的速度，找出距离移动越过阈值还有多长时间，等等。
当至少一个向量是单位长度时，点积是非单位长度向量在归一化向量的轴上的投影长度(当它们都是单位长度时，它们都在彼此的方向上移动相同的量)。
一位读者指出，术语归一化向量(指的是单位长度指向某个向量相同方向的向量，一种称为归一化的操作)和法线向量(指的是垂直于表面局部平面的向量)可能会让向量数学新手感到困惑。这是一个不幸的命名冲突，但现在你知道了——它们是两回事。好的。让我们继续，因为我现在要提到另一个。
平面(又名墙/斜坡/三角形)
给定一个由单位法向量 n 和点 p 定义的平面，我们可以通过查看以下等式的结果是正、零还是负来找到向量 x 在平面的哪一侧:
positive indicates in front of the plane, negative behind, and zero indicates the point is coincident with the plane.
我们可能还想反射一个平面上的向量。假设我们在点 x 有一个质点，以速度 v 运动。我们通过检查**x+vdt是否与 x 在平面的相对侧来测试在时间片 dt 中是否会发生碰撞。一旦我们确认了一次碰撞(对我们来说，这将是一次弹性碰撞)，我们需要找出点质量的终点。假设平面是固定的(重量为无穷大),点质量将以相同的速度绕平面的法线反射。新速度由下式给出:
新位置由以下等式给出:
下图显示了上述关系:
我能看看吗？
在我们的游戏中，我们经常想知道某个物体是否在某个观察者的视野中。给定一个在点 p 的观察者，一个在点 o 的物体，并假设该物体没有被遮挡(用一个或几个光线投射来测试)，用从观察者到该物体的归一化矢量取观察者观察方向 v 的点积。结果是它们之间角度的余弦值。测试观察者最大视角CPI的余弦值。
后续步骤
这里有一些点积技巧，但还有更多发现。如果你有有用的技巧或解释，请发表评论。如果你感到有信心，也许你想冒险做下一个叉积？
