李善兰

中外科学家发明家丛书：李善兰
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一、李善兰生活的时代

李善兰，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。生于1811年1月2
日，浙江海宁人，是近代著名的数学、天文学、力学和植物学家。
李善兰出生的时候，中国还是一个独立的封建国家。占统治地位的是小
农业和家庭手工业相结合的自给自足的自然经济。当时统治中国的清朝政府
政治上日趋腐败，军事上战备越益废弛，农民阶级与地主阶级之间的阶级矛
盾日益激化，清政府的统治面临着严重的危机。
清政府在对外关系中实行闭关锁国政策，这种政策保护了国内落后的生
产关系，阻碍了资本主义萌芽的发展。
正当中国在黑夜中沉睡的时候，世界上欧美各主要国家资本主义却迅速
发展起来。
以英国为首的各资本主义国家，为了寻求新的原料产地和商品市场，开
拓新的殖民地，开始对中国和东方各国进行扩张和侵略。
1840年，英国发动了鸦片战争。
在鸦片战争期间，广州三元里、江浙沿海和台湾军民对来犯的英军进行
了不屈不挠的反侵略斗争。
1842年8月29日，清政府被迫和英国签订了《南京条约》。不久，又
被迫签订了中美 《望厦条约》、中法《黄埔条约》。
不平等条约给中国造成了巨大的危害。
鸦片战争以后，出现了魏源、姚莹、包世臣等地主阶级知识分子的反侵
略爱国思想和向西方学习的主张。
19世纪后半期，西方科学知识开始大量传入。60年代洋务运动的开展，
七八十年代中国资本主义产生和发展，对于西方科学知识的引进和传播起了
促进作用。
1862年，清政府设立同文馆，开始只设外语课程，后来增加了数学、化
学、天文学、生理学等课程。在上海、广州、福州、天津等地也设立了专门
学堂，学习外语和西方科学知识。上海江南制造总局也翻译了一批科技书籍。
1857年出版的《六合丛刊》是我国最早出现的综合性科学杂志，在中国
科技发展史上起了重要作用。
随着西方自然科学知识的大量传入，以及近代工业的产生和发展，在19
世纪后半期，中国涌现出一批科学家，他们为发展中国的近代科学作出了重
要贡献。而李善兰的成就，在这些人当中，应当说佼佼者。

二、一岁功程今日始，
急须早著祖生鞭

李善兰出身于读书世家，他的先祖可以上溯至南宋末年京都汴梁 （今河
南开封）人李伯翼。
李伯翼一生读书论道，不乐仕进。
李伯翼之子李衎，元初举贤良方正，援朝请大夫嘉兴路总管府同知，全
家定居海宁县硖石镇。
李衎第17世孙李祖烈，号虚谷先主，治经学。

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李祖烈初娶望海县知县许季溪的孙女为妻，不幸许氏早夭；继娶妻妹填
房，又病故。
李祖烈后续弦崔氏，是名儒崔景远之女。
崔氏生三子：长子李心兰 （即李善兰），次子李心梅（也通晓数学），
三子李心葵，还有一个女儿。
海宁是个风光秀丽的地方，著名的海宁钱江潮，吞天沃日，势极雄豪。
李善兰在海宁这块宝地，自幼就读于私塾，受到了良好的家庭教育。他天资
聪颖，又勤奋好学，只要是他读过的书，过目即能成诵。
9岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著 《九章算
术》，这本书约成书于东汉前期。全书分为九章：（1）方田（分数四则算法
和平面形求面积法）， （2）粟米（粮食交易的计算方法）， （3）衰分（分
配比例的算法），（4）少广（开平方和开立方法），（5）商功（立体形求
体积法），（ 6）均输（管理粮食运输均匀负担的计算法），（7）盈不足（盈
亏类问题解法）， （8）方程（一次方程组解法和正负术），（9）勾股（勾
股定理的应用和简单的测量问题的解法）。其中负数、分数计算、联立一次
方程解法等，都是具有世界意义的成就。全书由246个算术命题和解法汇编
而成，标志着我国古代数学的完整体系的形成。李善兰读了这本书，感到十
分新奇有趣，从此迷上了数学。
13岁时，李善兰开始学习古代的诗歌创作。
14岁时，李善兰又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前六卷，欧几里
得（约前330—约前275）是古希腊数学家，他总结了前人的几何学知识研究
成果，加以系统化。他把人们公认的一些事实列成定义和公理，使用逻辑推
理的方法，给予演绎的证明。其中最著名的有平行公理，即平面上一直线和
两直线相交，当同旁两内角之和小于两直角时，则两直线在该侧充分延长一
定相交。用这些定义和公理来研究图形的性质，就形成了欧几里得几何学，
简称欧氏几何学。欧几里得的《几何原本》是他最著名的著作，全书共13
卷。第1—6卷为初等几何学部分。李善兰读的《几何原本》是明末大科学家
徐光启 （1562—1633）和意大利传教士利玛窦翻译的。欧氏几何严密的逻辑
体系，清晰的数学推理，与偏重实用解法和计算技巧的中国古代传统数学思
路迥异，自有它的特色和长处。
李善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新思想，这
使他的数学造诣日趋精深。
15岁时，李善兰作诗的水平也大有提高，如：
膝下依依十五秋，光阴瞬息去难留，
嗟余马齿徒加长，爆竹惊心岁已周。
再如：
数声爆竹岁朝天，渐愧平与会讲年，
一岁功程今日始，急须早著祖生鞭。
都是写得很好的佳句。他年轻时写的《夏日田园杂兴》和《田家》等诗，
如：
提筐去采陌头桑，闭户看桑月夜忙，
得到丝成空费力，一身仍是布衣裳。
颇为同情劳动人民的辛苦。
几年后，李善兰作为州县的生员，到省府杭州参加乡试，但李善兰自己

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说：
“于辞章训诂之学，虽皆涉猎，然好之总不及算学，故于算学用心极深。”
结果八股文章做得不好，名落孙山。但他却毫不介意，而是利用在杭州
的机会，留意搜寻各种数学书籍，买回了李冶的《测圆海镜》和戴震的《勾
股割圆记》。
李冶（1192—1279），字仁卿，号敬斋。真定府栾城（今河北栾城）人。
是金元之际的著名数学家。《测圆海镜》是他的代数名著，共12卷，是天元
术的代表作。
戴震（1724—1777），字东原，一字慎修。安徽休宁（今属黄山市）人。
是清代著名哲学家，考据学家，同时对数学也很有研究。戴震《勾股割圆记》
三篇，上篇言三角八线和平面三角形解法，中篇言球面直三角形解法，下篇
言球面斜三角形解法，凡55图、49术，2000余字。
李善兰仔细研读这两本书，使他的数学水平有了很大的提高。
李善兰曾经拜海盐人吴兆圻为师，学习过数学。这还是从许■祥《硖川
诗续钞》注里才能了解到的。因为吴兆圻有《读畴人书有感示李壬叔》诗：
“众流汇一壑，雅志说算术。
中西有派别，圆径穷密率。”
“三统探汉法，余者难具悉，
余方好兹学，心志穷专一。”
许■祥《硖川诗续钞》注曰：
“秋塍（吴兆圻）承思亭先生家学，于夕桀、重差之术尤精。同里李壬
叔善师师事之。”
李善兰在故里与蒋仁荣、崔德华等亲朋好友组织“鸳湖吟社”，常游“东
山别墅”，分韵唱和，当时曾利用相似勾股形对应边成比例的原理测算过东
山的高度。他的经学老师陈奂在《师友渊源记》中说他：
“孰习九数之术，常立表线，用长短式依节候以测日景，便易稽考”。
余楙在《白岳庵诗话》中说他“夜尝露坐山顶，以测象纬躔次”。
李善兰早年在家乡娶妻许氏，至今，李善兰的家乡还在流传着他在新婚
之夜探头于阁楼窗外观宿星宿的故事。

三、尖锥术

1840年，鸦片战争爆发。帝国主义列强入侵中国的现实激发了李善兰科
学救国的思想。他说：
“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，
推原制器之精，算学明也。”
“异日（中国）人人习算，制器日精，以威海外各国，令震慑，奉朝贡。”
从此他在家乡刻苦从事数学研究工作。
1842年5月，英军攻陷江浙海防重镇乍浦，乍浦离李善兰的家乡硖石只
有几十里的路程。他耳闻目睹侵略者烧杀淫掠的血腥罪行，满怀悲愤，奋笔
疾作 《乍浦行》一诗：
“壬寅四月夷船来，海塘不守城门开。
官兵畏死作鼠窜，百姓号哭声如雷。
夷人好杀攻用火，飞炮轰击千家灰。”

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“饱掠十日扬帆去，满城尸骨如山堆，
朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉？”
表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，也表达了他对清
政府临敌不战的强烈不满和他对敌主战的鲜明态度。
1845年前后，李善兰在嘉兴陆费设馆授徒，得以与江浙一带以数学家为
主的学者顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813—
1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖
锥术”的著作 《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。
19世纪40年代，在近代数学尚未自西方传入中国的条件下，李善兰异
军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，从中国传统数学中垛积术和极限
方法的基础上出发，大胆创新，发明尖锥术，具有解析几何的启蒙思想，得
出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函
数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19世纪中国数
学界最重大的成就。
李善兰认为：
“元数起于丝发而递增之而造成则成平尖锥；
“平方数起于丝发而渐增之而迭之则成立尖锥；
“立方数起于丝发而渐增之变为面而迭之则成三乘尖锥；
“三乘方数起于丝发而渐增之变为面而迭之成三乘尖锥，……
“从此递推可至无穷。然则多一乘之尖锥皆少一乘方渐增渐迭而成也。”
因此，“诸乘方皆有尖锥”，
“三乘以上尖锥之底皆方，惟上四面不作平体，而成凹形。乘愈多，则
凹愈甚”（图1）。

“尖锥之算法”乃是
“以高乘底为实，本乘方数加1为法，除之得尖锥积”。
又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”，
“诸尖锥既为平面，则可变为一尖锥”。

n
这样，对于一切自然数n，乘方数X都可用线段长表示，它们可以积迭
成n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线，高线和凹向的尖锥曲线组成。
乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图2）。

2 -8 2 -8
在《方圆阐幽》中，李善兰取X=10及X=2×10，用“分离元数法”
归纳得二项平方根展开式

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2 ∞ (2n
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其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。
在《对数探源》中，李善兰列出了十道命题，从各个方面描述对数合尖
锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，彼截线
与此截线可相为比例。”（图5）

即是说xy=xy，或xy=c（这里c=bh为常量）。然后，根据这些性质
1122
得出了对数的幂级数展开式

∞
1
lgn
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誉。英国传教士伟烈亚力 （1815—1887）说：
“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，这到了如同圣文
森特的格雷戈里 （1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”
“倘若李善兰生于纳皮尔（1550—1917）、布里格斯（1556—1631）之
时，则只此一端即可闻名于世。”
顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认
为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰说：“中土
李 （善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，并大声疾呼“以告中土
之受欺而不悟者”。

四、著书与交往

1845年，李善兰还撰著了《四元解》 2卷。
《四元解》是解释元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程自消之解法。
朱世杰字汉卿，号松庭。北京附近人。他的《四元玉鉴》成书于1303
年，全书分3卷，24门，共288个问题，最主要的问题是四元术。
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。
四元术是多元高次方程列方程亦解方程的方法，未知数最多时可至4
个。
四元术开头处总要有
“立天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即
相当于现代的
“设x，y，z，u为××，○○，△△，**。”
天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而
四元术则是天元术的推广。
朱世杰的四元术消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一
个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。譬如：二元二行式的消法，
其步骤可简述如下：
例如“假合四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二
行式，这相当于求解


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相消。”也就是
F（z）=AB-AB=0。
01 10

此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z之值，代入上式任
何一式中，再解一次只含x的方程即可求出x。
李善兰的《四元解》，则是以自己的见解解四元方程组，对了解朱世杰
原意帮助不大。
1848年，李善兰撰著《麟德术解》，解释唐李淳风（602—670）“麟德
历”中的二次差内插法。
李淳风，岐州雍县 （今陕西风翔）人。撰麟德历，于公元665年行用。
麟德历引进了刘焯 （544—610）的二次差内插法推算太阳和月亮的不均
匀运动。
刘焯的二次差内插法全称是等间距二次差内插法，它的算式可以概括为
t ( △
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广泛的交往。

五、翻译西方科学著作

1852年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国传
教士展阅，受到伟烈亚力等人的赞赏，从此开始了他与外国人合作翻译西方
科学著作的生涯。
伟烈亚力祖籍苏格兰，1791年其父移居伦敦。他先后在苏格兰和伦敦上
学，中学毕业后跟随一家具匠为学徒。他很早就对中国深感兴趣，借助于一
本拉丁文的 《汉语知识》和一部汉译《新约》，他无师自通，掌握了汉语的
大概。1846年，英国伦敦会在华传教士理雅各返英为本会在华出版机构物色
人选，伟烈亚力毛遂自荐。理雅各对他的天才十分惊叹，立即接收他入会。
经过半年印刷业务进修之后，随即被派往中国。1847年8月26日来华后，
在上海主持伦敦会墨海书馆的出版事务。
受明末清初来华耶稣会士的影响，伟烈亚力认为宣传科学有利于传播基
督教。他以利玛窦 （1552—1610）等人为榜样，准备翻译科学著作吸引中国
知识分子。为此，在主持馆务之余，他广泛研读中国典籍，开始学习中国传
统的天文数学。他说：
“余自西土远来中国，以传耶稣之道为本，余则兼习艺能。”
1849年，墨海聘王韬译书。现在李善兰又应邀进馆。
李善兰与伟烈亚力翻译的第一部书，是欧几里得《几何原本》后9卷。
徐光启和利玛窦于1607年翻译出版了《几何原本》的前6卷，为初等几
何学部分。后9卷是关于数的理论、不尽根的几何解法、立体几何学等，一
直未能翻译，所以，李善兰说：“续徐、利二公未完之业”。于1857年翻译
出版了《几何原本》后9卷。
在翻译《几何原本》的同时，李善兰又与艾约瑟（1823—1905）合译了
《重学》 20卷。
《重学》即《初等力学》，英国胡威力原著。李善兰同艾约瑟合译的《重
学》是中国近代科学史上第一部包括运动学和动力学、刚体力学和流体力学
在内的力学译著，也是当时最重要、影响最大的物理学译著。其中关于牛顿
（1642—1727）运动三定律，用动量的概念讨论物体的碰撞、功能原理等，
都是首次在中国得以介绍。
其后，还与伟烈亚力合译了：
第一：英国赫歇尔（1738—1822）原著《谈天》，即《天文学纲要》18
卷，内容包括哥白尼（1473—1543）日心地动学说，开普勒（1571—1630）
行星椭圆运动定律和牛顿万有引力定律等，它使中国天文学界耳目为之一
新，近代天文知识开始在中国广为传播，中国近代天文事业从此得到发展。
第二：英国德摩根原著《代数学》13卷。
第三：美国卢米斯原著《代微积拾级》，即《解析几何与微积分初步》 18
卷。
李善兰还与韦廉臣合译了英国林德利原著《植物学》，即《植物学基础》
8卷，是我国最早介绍西方近代植物学的译著，内容包括只有在显微镜下才
能看到的植物内部组织构造，在实验和观察的基础上所建立的有关植物体各
器官组织的生理功能的理论，以植物体本身形态构造特点为依据的科学的植

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物分类方法等。
以上几种书均于 1857—1859年由上海墨海书馆刊行。
此外，他还与伟烈亚力、傅兰雅（1839—1928）合译过《奈端数理》，
即牛顿《自然哲学的数学原理》，可惜没有译完，未能刊行。
傅兰雅是英国人，出生于贫穷的牧师之家，从小向往中国。1861年自伦
敦海格伯里师范学院毕业后，接受英国圣公会的派遣，到该会所属的香港圣
保罗书院任校长。两年后，北上京师任同文馆英文教习。又两年，转任上海
英华学塾校长。在港、京、沪等地，他很快掌握了当地的方言，不久，即以
其出色的汉语能力小有声名。傅兰雅虽受教会派遣，但对传教兴趣不大，因
而与圣公会发生了矛盾。1868年5月，他辞去英华学塾之职，脱离教会，就
上海制造局聘任，从事西方科技著作的翻译工作，转而为清政府效力。6月，
制造局专设一翻译馆，进行了大量的翻译工作。
李善兰在翻译过程中，大量的近代科学名词，其中文译名都没有先例可
供参考。本着对后人负责的精神，李善兰仔细琢磨，反复斟酌，十分贴切地
创译了一大批科学名词，如代数学中的代数、函数、常数、变数、系数、已
知数、未知数、方程式、单项式、多项式等，解析几何学中的原点、轴、圆
锥曲线、抛物线、双曲线、渐近线、切线、法线、摆线、蚌线，螺线等，微
积分中的无穷、极限、曲率、歧点、微分、积分等；天文学中的历元、方位、
视差、自行、摄动、光行差、月行差、月角差、二均差、蒙气差、星等、变
星、双星、三合星、本轮、均轮等；力学中的分力、合力、质点、刚体等；
植物学中的植物、细胞、菊科、豆科、蔷薇科、杨柳科、芭蕉科等。一百多
年过去了，这些科学名词不仅在我国流传下来，还飘洋过海，东渡日本等国，
沿用至今未改。
李善兰在19世纪50年代中对西方近代科学中数学、物理、天文、生物
等学科的翻译工作，加上70年代初徐寿（1818—1884）对化学，华蘅芳（1833
—1902）对地学的翻译工作，20年间，近代科学各大门类的先进知识都介绍
进了中国，这为中国近代科学的发展奠定了坚实的理论基础，具有不可磨灭
的历史意义。
在译书的同时，李善兰还帮助伟烈亚力研究中国天文算学，并把中国天
文数学的成就介绍到西方。

六、垛积术

1858年12月，徐有壬任江苏巡抚。
1860年，徐有壬邀请李善兰作其幕宾。
4月13日，太平天国忠王李秀成部攻克苏州，徐有壬被杀。太平军占领
苏州后，李善兰留在苏州的行箧，包括各种著作手稿，散失以尽。从此他“绝
意时事”，避乱上海，埋头从事数学研究，重新著书立说。
徐有壬的代表作是《割圆八线缀术》4卷。自杜德美（1668—1720）将
π、sina、versa的展开式传入中国之后，许多数学家以不同方式进行了深
入的研究并获得了大量结果。其中有些结果彼此相同，从八线互求的角度来
看杜德美弧求弦矢之后，明安图 （1692？—1763？）首先给出弦矢求弧式，
项名达首先给出弦求割矢式，李善兰首先给出弧求割线及其反求式。即：
第一：已知 a，求 seca

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第二：已知seca求a
在此基础上，徐有壬给出其余9式。
李善兰在上海期间，与数学家吴嘉善、刘彝程等人都有过学术上的交往。
1861年秋，洋务派首领、两江总督曾国藩（1811—1872）在安徽筹建安
庆军械所，并邀著名化学家徐寿、数学家华衡芳入幕。李善兰也于1862年被
聘为幕僚，并兼管书局的工作。他一到安庆，就拿出印行了没有多少册而在
战火中毁版的《几何原本》等数学书籍请求曾国藩重印刊行，并推荐张文虎
等人入幕。他们同住一处，经常进行学术讨论，积极参与洋务新政中有关科
学技术方面的活动。
1864年7月 19日，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰
等也跟着到了南京。他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到
曾国藩的支持和资助，于是有金陵刊本《几何原本》 15卷和1867年金陵刊
本 《则古昔斋算学》24卷问世。
1867年刊行的《则古昔斋算学》收录李善兰20多年来的各种天算著作，
计有：
《方圆阐幽》1卷（1845）
《弧矢启秘》2卷（1845）
《对数探源》2卷（1845）
《垛积比类》4卷
《四元解》4卷（1845）
《麟德术解》 3卷（1848）
《椭圆正术解》2卷
《椭圆新术》1卷
《椭圆拾遗》3卷
《火器真诀》1卷（1858年）
《对数尖锥变法释》1卷
《级数回求》1卷
《天算式问》1卷。
其中，《垛积比类》一书，是李善兰的另一杰出数学成就——垛积术。
在中国数学史上，北宋沈括 （1031—1095）首创隙积术开垛积研究之先
河。
隙积术是一种求解垛积问题的方法，属于高阶等差级数求和的问题。沈
括具体涉及到的有累棋、层坛和积罂等问题，他得出了正确的求解公式：
垛积体数目式体积
h h
V隙 = b [ （2b＋d） a＋ （2d＋b ）c] + b （c - a）

其中a和c分别为垛积体上、下宽度，b和d分别为垛积体上、下长度，h
为垛积体的高度。
元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积问题，
分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为
n r
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n r
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和
n m
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这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根，
就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。
李善兰说：
“任取一数，欲辨是数根否，古无法焉，”他“精思既久，待考之法四”，
即：
第一：屡乘求一法，
第二：天元求一法，
第三：小数回环法，
第四：准根分级法，
d
用以对已给的数N，找出最小的指数d，使a-1能被N整除，这里a是
与N互素的任何自然数。
李善兰证明了著名的费马素数定理（1640），并且指出它的逆定理不真。
d
亦即，若a-1能被 N整除，而 N是素数，则N-1能被d整除；但d能除尽
N-1，未必N一定是素数。
李善兰还进一步指出，若N非素数而d也能整除N-1，则N的因整必具
K＋1的形式，内p为能除尽d的数，k为自然数。只有任何具有k+1形式
p p

的数都又能除尽N时，N才肯定是素数。

八、其它数学著作

李善兰在他所著的《椭圆正术解》中解释了徐有壬《椭圆正术》中行星
椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算法。
李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解开普勒方程。
李善兰的《火器真诀》则提出别具一格的图解法，以量代算，是我国第
一部精密科学意义上的弹道学著作。

∞

《级数回求》是通过几个特殊的幂级数y =
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（1727—1804）研究中国古代历法的《三统术衍》和介绍哥白尼学说的《地
球图说》等。
阮元主编，李锐、周治平参与编纂的《畴人传》，是一部著名的述评天
文、数学家活动的传记集。全书46卷，269篇，列叙中国上起三皇五帝时代，
下迄嘉庆初年去世的天文历法家、数学家275人，西洋天文学家、数学家和
来华传教士41人。传记一般是在姓名、字号，籍贯、科举出身和主要官职之
后以主要篇幅介绍传主有关天文学、数学的“议论行事”。有天文、数学著
作的，不论存佚，都列出名目，并录其序言，凡例，记其摘要。书中搜集整
理了丰富的天文数学史料。各篇传记之后，多有阮元撰写的“论”，对人物
的思想和工作进行评论，或对学术的源流沿革进行分析。
阮元在《畴人传》中有其进步意义的一面，但是又在书中宣扬“西学东
源说”，表现出狭隘性和历史的局限。他在书中介绍哥白尼学说后，还做有
贬低性的评论。
李善兰在《谈天》序中，大力表彰哥白尼、开普勒、牛顿等人不断探索
真理，“苟求其故”的科学态度，勇于批判阮元对哥白尼学说的攻击和钱大
昕对开普勒定律的实用主义观点，说阮元、钱大昕“未尝精心考察，而拘牵
经义，妄生议论，甚无谓也。”
李善兰在《星命论》中，揭露“术士专以五行之生克判人一生之休咎”
的荒诞无稽，他的议论非常透彻，发人深省。

十、小学略通术数，大隐不在山林

1874年，李善兰升为户部主事，加六品卿员外衔。
1876年升员外郎（五品卿衔），但他依然孜孜不倦地从事同文馆教学工
作，并埋头进行学术著述。
1877年演算《代数难题》。
1879年，李善兰又加四品卿衔。
1882年授三品卿衔户部正郎、广东司行走，总理各国事务衙门章京。一
时间，京师各“名公巨卿，皆折节与之交，声誉益噪”，但他“犹手著《级
数勾股》二卷，老而勤学如此。”
李善兰生性落拓，跌宕不羁，潜心科学，淡于利禄。曾国藩等赏识他，
“屡欲列之荐牍，皆力辞。”
晚年他虽官居内阁高位，但从来没有离开过同文馆教学岗位，也没有中
断过科学研究工作。他自署对联“小学略通术数，大隐不在山林”张贴门上，
表明他仍然以在野的隐士自居，而不与贪官污吏者同流合污。

十一、李善兰与华蘅芳

1882年12月9日，李善兰卒于北京，享年72岁。
李善兰早年在家乡娶妻许氏，无子；晚年在北京纳妾米氏，仍未得子；
乃过继外甥崔敬昌为嗣。敬昌字吟梅，曾任江海关文牍。
李善兰的一生以1852年为界，1852年以前，李善兰创立了尖锥术，在
他的尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根、长
叶、开花、结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方式走

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上近代数学的道路。但是，1852年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的
近代数学，并参与了把解析几何和微积分学介绍进中国的翻译工作。从此，
中国传统数学逐渐汇入世界数学发展的洪流中。
在清末数学界，李善兰与华蘅芳 （1833—1902）的关系是脍炙人口的。
华蘅芳，字若汀，生在无锡南延乡荡口的一个小官僚家庭。
无锡是江南的富庶之区，地灵人杰，富有文化传统。华蘅芳14岁那年，
受同乡徐寿的影响，立志探求新的知识。一次，他从徐寿那里借到一本明代
算学家程大位 （1533—1606）的著作《算法综宗》，爱不释手，朝夕研读，
书中所列难题，硬是被他一个个地攻破了。这次学习，使他尝到了学习算学
的一些甜头，竟由此对算学产生了浓厚的兴趣，简直到了入迷的程度。他一
钻进书房，便整天不出门，还经常到书坊去搜求数学书籍。华蘅芳青少年时
代对数学有了相当多的了解，无师自通，通过自学，对上自秦汉下至明清时
期的中国古代大量算学著作进行了比较全面、系统的学习和钻研，从中汲取
了丰富的营养，为攀登数学科学的高峰打下了坚实的基础。
一次，华蘅芳得知上海有个名叫李善兰的数学家，正同外国天文数学家
伟烈亚力合作，一起翻译一部叫 《代微积拾级》的数学著作，便千里迢迢，
来到上海登门求教。
华蘅芳的诚恳、坦率和好学，使李善兰很受感动。李善兰不仅认真回答
了他所提出的一连串问题，而且还主动向他介绍了当今世界数学研究的情
况，使华蘅芳眼界大开。最后，李善兰慷慨地将自己已经译出的《代微积拾
级》手稿借给了他，让他抄写，供他研习。
华蘅芳如获至宝，回家乡后便足不出户地攻读。由于当时国外的数学水
平远高于我国，所以华蘅芳遇到了许多困难。一年过去了，还是弄不明白。
这可真把他难住了。他鼓起勇气，二赴上海向李善兰再次请教，李善兰不厌
其烦，耐心地向华蘅芳进行讲解，鼓励他要“反复钻研，持之以恒”。
上海之行，鼓起了华蘅芳继续钻研的风帆。经过认真努力的钻研，终于
找到了学习的秘诀：不求之过急，一步一个脚印地向前探索。这样一来，局
面逐步打开了，不到一年，他便领会了《代微积拾级》的精神实质。
华蘅芳的数学成就主要有开方术、积较术和数根术三个方面。
在《开方别术》等著作中，华蘅芳提出求整系数高次方程的整数根的新
方法——“数根开方法”，李善兰评价说：
“并诸商为一商，故无‘翻积’、‘益私’不特生面独开，且较旧法简
易十倍。”
“数根开方法”的缺点是不能求方程的无理数根。
在《积较术》等著作中，华蘅芳讨论招差法在代数整多项式研究和垛积
术中所起的作用。其中“诸乘方正元积较表”和“积较还原表”，分别定义
了两种计数函数，与所谓第一、二种斯特林数都有关系，从而给出一组乘方
乘垛互反公式和若干组合恒等式，是为计数理论的中心问题，在组合数学和
差分理论中都有一定的意义。
在《数根术解》等著作中，华蘅芳指出：
“有单位之数根（即素数），即可求两位之数根；有两位之数根，即可
求四位之数根。”他的具体方法是：“以单位之数根3、5与7连乘，得105，
以两位之数求等（即公约数），其有等者可以等数约之，故非数根；其无等
者除1之外俱不能度，故为数根。”这就是今天数学中的“筛法”，如是便

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得到两位数的素数21个。
华蘅芳还指出，随着自然数的位数增加，素数的间隔愈稀，但素数的个
数是无穷的。他用诸乘尖堆法证明了费马素数定理 （1640），与欧拉（1707
—1783）证法相似。但是他还是不能像李善兰《考数根法》中那样指出费马
定理的逆定理不真。
华蘅芳的数学成就受到当时数学界的高度评价。李善兰赞他：“独务精
深”，“空前绝后”；不过，华蘅芳的开方术、积较术、数根术，比起李善
兰的尖锥术、垛积术、素数论来讲，还是略有逊色。
华蘅芳对近代科学包括近代数学的翻译工作比他的数学著述更有成就和
影响。
华蘅芳在同外国人合作译书的过程中，发觉傅兰雅精于数学，又“深通
中国语言文字”，于是决定继李善兰、伟烈亚力翻译《代数学》、《代微积
拾级》之后，同傅兰雅合译西方近代数学书籍，以“补其所谓”。20余年间，
出版了以下7种：
《代数术》（英国人华来士撰，原载《大英百科全书》第八版，1853）
25卷，1872年初刊；
《三角数理》（英国人海麻士撰， 1858） 12卷， 1878年初刊；
《代数难题解法》（英国人伦德撰， 1878） 16卷， 1829年初刊；
《决疑数学》（英国人加洛韦撰，原载《大英百科全书》第八版，1853；
英国人安德森撰，《钱伯斯百科全书》新版，1860）10卷，1880年初刊；
《合数术》（即《代数总法》，美国人白尔尼撰， 1863） 11卷，1888
年初刊；
《算式别解》（一作《算式解法》，美国人休斯敦、肯内利合撰，1898）
14卷，1899初刊。
译成未刊者还有《相等算式理解》、《配数算法》等。
在上述各书中，华蘅芳介绍西方数学家的代数学、三角学、微积分学和
概率论，所含数学知识比李善兰的书丰富，内容也比较新颖。如《决疑数学》
是中国第一部编译的概率论著作，介绍了人口估测、人寿保险、预求定案准
确率和统计邮政、医疗事业中某些平均数的方法，令人耳目一新；还详细叙
述了西方概率论史、涉及著名数学家约30人，这就增进了中国数学界对西方
数学界的认识和了解。《代数难题解法》和《算式别解》都是原书刚刚出版，
第二年就译出刊行，及时反映了当时西方数学的水平。
在关于李善兰的学术研究方面，中国著名的数学史专家李俨（1892—
1963）在1955年由科学出版社出版的《中算史论丛》的第4集 （全书共5
集）书末附有李善兰、华蘅芳二人的年谱，是了解李善兰活动的重要资料。
在文化大革命期间，由于众所周知的原因，中断了对李善兰的研究工作。
粉碎四人帮以后，数学界和数学史界又重新开始研究和评价李善兰的数
学成就，介绍和研究李善兰数学成就的文章有：
李迪：十九世纪中国数学家李善兰，载中国科技史料，3（1982），3，
第15—21页。
罗见今：《垛积比类》内容分析，内蒙古师范学院学报（自然科学版），
1982，1，第89—105页。
王渝生：李善兰的尖锥术，自然科学史研究，2（1983），3，第 266—
288页。

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王渝生：李善兰——中国近代科学的先驱者，自然辩证法通讯，5（1983），
5，第59—72页。
在大学教育中，80年代初，历史系所开的中国近代史课程中，还没有近
代科学技术的内容，到80年代中期，大学历史系中国近代史教材普遍增加了
有关近代中国文化的内容，并把科学技术和教育列为一节来讲述，甚至电大
教材也增加了这一内容。例如：中央广播电视大学龚书铎等主编的《中国近
代史纲》一书，第十三章，近代中国的文化，第四节就是科学技术和教育，
内中用1/10的篇幅对李善兰的数学成就和西方科技书籍的翻译成就进行了
介绍。

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