07-计算π的近似值

16.6　计算π的近似值

问题描述

利用割圆术计算π的近似值。割圆术是我国魏晋时期刘徽发明的计算圆周率的方法，它最早记录在公元263年刘徽撰写的《九章算术注》中。所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积无限逼近圆面积，并求圆周率的方法。

【分析】

对于圆内接正六边形，设圆半径为1。根据数学知识，圆内接正六边形的边长y₂也为1，圆的周长近似等于6y₂=6。圆周长=2πr，则π=圆周长/(2r)=6/(2×1)=3=3×2⁰y₂，如图16.9（a）所示。对于圆内接正十二边形，可从圆内接正六边形继续切割得到，如图16.9（b）所示。假设圆内接正十二边形的边长AB=y₂，圆内接正六边形的边长BD=y₁，三角形△AOC和△ADC都是直角三角形。对于△AOC，设OC=a，则有 ；对于△ADC，设CD=b，则有。又由于a+b=1，因此依据以上公式，可得，圆周率。

对于圆内接正二十四边形，设其边长为y₂，圆内接正十二边形的边长为y₁，则可得 ，圆周率π的近似值为3×2² y₂。更一般地，经过若干次切割，得到的圆内接正多边形的边长趋近于圆的周长，可得，其圆周率π≈3×2ⁿy₂。

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*实例说明：计算π的近似值
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#include<iostream.h>
#include<iomanip.h>
#include<math.h>
void main()
{
    int i,n,c;
    double k,yn;
    i=0;       //切割次数
    k=3.0;     //初始值
    yn=1.0;    //圆内接正六边形的边长
    c=6;       //初始圆内接正多边形的边数
    cout<<"输入切割次数："<<endl;
    cin>>n;
    while(i<=n)
    {
        cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(20);
        cout<<"正"<<c<<"边形"<<i<<"次切割，PI="<<k*sqrt(yn)<<endl;
        c*=2;           //边数增加一倍
        k*=2.0;         //3*2^n
        yn=2-sqrt(4-yn);//弦长
        i++;
    }    
}

运行结果如图16.10所示。