07-母牛生小牛问题

11.1.5　母牛生小牛问题

问题描述

有一头母牛，每年年初生一头小母牛，每头小母牛从第3年起，每年年初也生一头小母牛。求在第20年时共有多少头母牛。

【分析】

令x_0i、x_1i、x_2i、x_3i分别表示第i年后刚生下的母牛、满1岁的母牛、满两岁的母牛及可生小母牛的母牛。根据题意，可以得到以下递推公式。

x_0i = x_3i= x_2i−1+x_3i−1　　（满两岁、3岁的母牛成为下一年的育龄母牛且都能生下1头小母牛）

x₁₁= x_0i−1 　　　　　　　（刚生下的小母牛到下一年成为满1岁的小母牛）

x_2i = x_1i−1 　　　　　　　　(满1岁的小母牛到下一年成为满两岁的小母牛)

x₀₀=1

x₁₀= x₂₀= x₃₀=0 　　　　（初始时，只有一头小母牛）

其中，i=1, 2, 3, …, 20。

初始时，只有一头刚出生的小母牛，因此有x₀₀=1，x₁₀=x₂₀=x₃₀=0；第（i−1）年刚生下的小母牛变为第i年的满1岁小母牛，即x_1i=x_0(i−1)；第（i−1）年满1岁的小母牛成为第i年满两岁的小母牛，即x_2i=x_1(i−1)；第（i−1）年满两岁和满3岁的小母牛都会在第i年生下小母牛，即x_0i=x_2(i−1)+x_3(i−1)；第（i−1）年满两岁和满3岁的小母牛都成为育龄母牛，即x_3i=x_2(i−1)+x_3(i−1)。

/********************************************
*实例说明：母牛生小牛问题
*********************************************/
1  #include<stdio.h>
2  #define N 20
3  void main()
4  {
5      int x0[N+1],x1[N+1],x2[N+1],x3[N+1],i,s;
6      /*初始时，只有一头刚出生的母牛*/
7      x0[0]=1;
8      x1[0]=x2[0]=x3[0]=0;
9      for(i=1;i<=N;i++)
10     {
11         x0[i]=x3[i]=x2[i-1]+x3[i-1];/*满两岁和满3岁的母牛成为育龄母牛，且都生了小母牛*/
12         x1[i]=x0[i-1];/*刚生下的小母牛成为下一年的满1岁的母牛*/ 
13         x2[i]=x1[i-1];/*满1岁的小母牛成为下一年的满两岁的母牛*/
14         s=x0[i]+x1[i]+x2[i]+x3[i];/*第i年的母牛总数*/
15         printf("第%d年后母牛的总数:%4d\n",i,s);
16     }
17 }

运行结果如图11.8所示。