75-IEC浮点标准

B.8.1　IEC浮点标准

国际电工技术委员会（IEC）已经发布了一套浮点计算的标准（IEC 60559）。该标准包括了浮点数的格式、精度、NaN、无穷值、舍入规则、转换、异常以及推荐的函数和算法等。C99纳入了该标准，将其作为C实现浮点计算的指导标准。C99新增的大部分浮点工具（如， fenv.h 头文件和一些新的数学函数）都基于此。另外， float.h 头文件定义了一些与IEC浮点模型相关的宏。

1．浮点模型

下面简要介绍一下浮点模型。标准把浮点数 x 看作是一个基数的某次幂乘以一个分数，而不是C语言的 E 记数法（例如，可以把 876.54 写成 0.87654E3 ）。正式的浮点表示更为复杂：

简单地说，这种表示法把一个数表示为有效数（significand）与 b 的 e 次幂的乘积。

下面是各部分的含义。

s 代表符号（± 1 ）。

b 代表基数。最常见的值是 2 ，因为浮点处理器通常使用二进制数学。

e 代表整数指数（不要与自然对数中使用的数值常量 e 混淆），限制最小值和最大值。这些值依赖于留出存储指数的位数。

fk 代表基数为 b 时可能的数字。例如，基数为 2 时，可能的数字是 0 和 1 ；在十六进制中，可能的数字是 0 ～ F 。

p 代表精度，基数为 b 时，表示有效数的位数。其值受限于预留存储有效数字的位数。

明白这种表示法的关键是理解 float.h 和 fenv.h 的内容。下面，举两个例子解释内部如何表示浮点数。

首先，假设一个浮点数的基数 b 为 10 ，精度 p 为 5 。那么，根据上面的表示法， 24.51 应写成：

(+1)10<sup class="my_markdown">3</sup>(2/10 + 4/100 + 5/1000 + 1/10000 + 0/100000)

假设计算机可存储十进制数（ 0 ～ 9 ），那么可以存储符号、指数 3 和 5 个f_k值： 2 、 4 、 5 、 1 、 0 （这里，f₁是2，f₂是4，等等）。因此，有效数是 0.24510 ，乘以 10<sup class="my_markdown">3</sup> 得 24.51 。

接下来，假设符号为正，基数 b 是 2 ， p 是 7 （即，用 7 位二进制数表示），指数是 5 ，待存储的有效数是 1011001 。下面，根据上面的公式构造该数：

x = (+1)2<sup class="my_markdown">5</sup> (1/2 +0/4 + 1/8 + 1/16 + 0/32 + 0/64 + 1/128)

= 32(1/2 +0/4 + 1/8 + 1/16 + 0/32 + 0/64 + 1/128)

= 16 + 0 + 4 + 2 +0 + 0 + 1/4 = 22.25

float.h 中的许多宏都与该浮点表示相关。例如，对于一个 float 类型的值，表示基数的 FLT_RADIX 是 b ，表示有效数位数（基数为 b 时）的 FLT_MANT_DIG 是 p 。

2．正常值和低于正常的值

正常浮点值（normalized floating-point value）的概念非常重要，下面简要介绍一下。为简单起见，先假设系统使用十进制（ b = FLT_RADIX = 10 ）和浮点值的精度为 5 （ p = FLT_MANT_DIG = 5 ）（标准要求的精度更高）。考虑下面表示 31.841 的方式：

指数 = 3，有效数 = .31841（.31841 E 3）

指数 = 4，有效数 = .03184（.03184 E 4）

指数 = 5，有效数 = .00318（.00318 E 5）

显而易见，第 1 种方法精度最高，因为在有效数中使用了所有的 5 位可用位。规范化浮点非零值是第 1 位有效位为非零的值，这也是通常存储浮点数的方式。

现在，假设最小指数（ FLT_MIN_EXP ）是 -10 ，那么最小的规范值是：

指数 = -10，有效数 = .10000（.10000 E -10）

通常，乘以或除以 10 意味着使指数增大或减小，但是在这种情况下，如果除以 10 ，却无法再减小指数。但是，可以改变有效数获得这种表示：

指数 = -10，有效数 = .01000（.01000 E -10）

这个数被称为低于正常的（subnormal），因为该数并未使用有效数的全精度。例如， 0.12343E-10 除以 10 得 .01234E-10 ，损失了一位的信息。

对于这个特例， 0.1000E-10 是最小的非零正常值（ FLT_MIN ），最小的非零低于正常值是 0.00001E-10 （ FLT_TRUE_MIN ）。

float.h 中的宏 FLT_HAS_SUBNURM 、 DBL_HAS_SUBNORM 和 LDBL_HAS_SUBNORM 表征实现如何处理低于正常的值。下面是这些宏可能会用到的值及其含义：

-1　　不确定（尚未统一）

0　　 不存在（例如，实现可能会用0替换低于正常的值）

1　　 存在

math.h 库提供一些方法，包括 fpclassify() 和 isnormal() 宏，可以识别程序何时生成低于正常的值，这样会损失一些精度。

3．求值方案

float.h 中的宏 FLT_EVAL_METHOD 确定了实现采用何种浮点表达式的求值方案，如下所示（有些实现还会提供其他负值选项）。

-1　　不确定

0　　 对在所有浮点类型范围和精度内的操作、常量求值

1　　 对在 double 类型的精度内和 float 、 double 类型的范围内的操作、常量求值，对 longdouble 范围内的 long double 类型的操作、常量求值

2　　 对所有浮点类型范围内和 long double 类型精度内的操作和常量求值

例如，假设程序中要把两个 float 类型的值相乘，并把乘积赋给第 3 个 float 类型变量。对于选项 1 （即K&R C采用的方案），这两个 float 类型的值将被扩展为 double 类型，使用 double 类型完成乘法计算，然后在赋值计算结果时再把乘积转为 float 类型。

如果选择 0 （即ANSI C采用的方案），实现将直接使用这两个 float 类型的值相乘，然后赋值乘积。这样做比选项 1 快，但是会稍微损失一点精度。

4．舍入

float.h 中的宏 FLT_ROUNDS 确定了系统如何处理舍入，其指定值所对应的舍入方案如下所示。

-1　　不确定

0　　 趋零截断

1　　 舍入到最接近的值

2　　 趋向正无穷

3　　 趋向负无穷

系统可以定义其他值，对应其他舍入方案。

一些系统提供控制舍入的方案，在这种情况下， fenv.h 中的 festround() 函数提供编程控制。

如果只是计算制作 37 个蛋糕需要多少面粉，这些不同的舍入方案可能并不重要，但是对于金融和科学计算而言，这很重要。显然，把较高精度的浮点值转换成较低精度值时需要使用舍入方案。例如，把 double 类型的计算结果赋给 float 类型的变量。另外，在改变进制时，也会用到舍入方案。不同进制下精确表示的分数不同。例如，考虑下面的代码：

float x = 0.8;

在十进制下， 8/10 或 4/5 都可以精确表示 0.8 。但是大部分计算机系统都以二进制存储结果，在二进制下， 4/5 表示为一个无限循环小数：

0.1100110011001100...

因此，在把 0.8 存储在 x 中时，将其舍入为一个近似值，其具体值取决于使用的舍入方案。

尽管如此，有些实现可能不满足IEC 60559的要求。例如，底层硬件可能无法满足要求。因此，C99定义了两个可用作预处理器指令的宏，检查实现是否符合规范。第 1 个宏是 _ _STDC_IEC_559_ _ ，如果实现遵循IEC 60559浮点规范，该宏被定义为常量 1 。第 2 个宏是 _ _STDC_IEC_559_COMPLEX_ _ ，如果实现遵循IEC 60559兼容复数运算，该宏被定义为常量 1 。

如果实现中未定义这两个宏，则不能保证遵循IEC 60559。