03-利用二分法求方程的根
16.2 利用二分法求方程的根
问题描述
利用二分法求方程3x3−13x+2=0在区间[1,9]的根。
【分析】
1．相关概念
函数y=f(x)的零点就是f(x)=0的根；如果y=f(x)有根，则说明函数y=f(x)的图像与x轴有交点。
2．零点存在的判断方法
函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a) f(b)<0，则y=f(x)在[a,b]内有零点，如图16.2所示。
3．二分法定义
对于在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地将函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。
具体做法如下。
（1）如果f(a)f(b)<0，则说明区间[a,b]内存在零点，求出中间值c=0.5(a+b)，判断f(a)f(c)的正负。
（2）如果f(a)f(c)<0，则说明区间[a,c]内存在零点，令b=c；否则，说明区间[c,b]内存在零点，令a=c。
（3）如果|f(c)|>EPS且|a−b|>EPS，则转到步骤（1）；否则，停止执行，将c作为近似值。
【示例】
利用二分法求函数f(x)= 3x3−13x+2在区间[1,4]内的零点。
计算过程如下。
（1）令a=1，b=4，计算a和b的中间值c=0.5(a+b)=2.5。
（2）因为f(1)=−8，f(2.5)=16.375，所以f(1)f(2.5)<0。因此，零点位于区间[1,2.5]内，令b=2.5。
（3）求出a和b的中间值c=(1+2.5)×0.5=1.75。
（4）因为f(1)= −8，f(1.75) ≈ −4.67188，所以f(1)f(1.75)>0。因此，零点位于区间[1.75,2.5]内，令a=1.75。
（5）不断重复执行以上过程，直到|f(c)|<EPS时，停止执行，将c看作零点的近似值。
利用二分法求f(x)=3x3−13x+2的零点的过程中得到的中间值如表16.1所示。
| 区间[a,b] | 中间值c的值 | 中间值对应的函数值 | | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | | [1,4] | 2.5 | 16.375 | | [1,2.5] | 1.75 | −4.67188 | | [1.75,2.5] | 2.125 | 3.162109 | | [1.75,2.125] | 1.9375 | −1.36792 | | [1.9375,2.125] | 2.03125 | 0.73642 | | [1.9375,2.03125] | 1.984375 | −0.354992 | | [1.984375,2.03125] | 2.007813 | 0.180799 | | [1.984375,2.007813] | 1.996094 | −0.08956 | | [1.996094,2.007813] | 2.001954 | 0.045011 | | [1.996094,2.001954] | 1.999024 | −0.02243 |
从表16.1中不难看出，随着迭代的进行，中间值c的函数值不断趋近于0，而c不断趋近于零点，即逼近f(x)=0的根。
第16章\实例16-02.cpp
/********************************************
*实例说明：利用二分法求方程的根
*********************************************/
1 #include<stdio.h>
2 #include<math.h>
3 #define EPS 1e-6
4 double f(double x);
5 void main()
6 {
7 double a,b,c;
8 printf("请输入一个区间(如:1,4):");
9 scanf("%lf,%lf",&a,&b);
10 printf("方程3*x*x*x-13*x+2=0的解:x=");
11 if (fabs(f(a))<=EPS)
12 {
13 printf("%lg\n", a);
14 }
15 else if (fabs(f(b))<=EPS)
16 {
17 printf("%lg\n", b);
18 }
19 else if (f(a)*f(b)>0)
20 {
21 printf("f(%lg)*f(%lg)>0请重新输入,
22 使f(%lg)*f(%lg)<=0 !\n",a,b);
23 }
24 else
25 {
26 while (fabs(f(c))>EPS&&fabs(b-a)>EPS)
27 {
28 c=(a+b)/2.0;
29 if (f(a)*f(c)<0)
30 b=c;
31 else
32 a=c;
33 }
34 printf("%lg\n", c);
35 }
36 }
37 double f(double x)
38 {
39 return 3*x*x*x-13*x+2;
40 }运行结果如图16.3所示。
【注意事项】
在利用二分法求方程的根时，需要注意两个循环条件：一个是c的函数值趋于0，另一个是区间[a,b]变得无穷小。只有这样才能保证求得的c可以作为方程的根。